Question

【题目】已知函数f（x）=ln（ax+1）﹣ax﹣lna．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若h（x）=ax﹣f（x），当h（x）＞0恒成立时，求a的取值范围；
（3）若存在 ，x2＞0，使得f（x1）=f（x2）=0，判断x1+x2与0的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=ln（ax+1）﹣ax﹣lna，所以 且a＞0

易知f（x）的定义域为 ，

又a＞0，在区间 上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞上，f′（x）＜0，

所以f（x）在（﹣ ，0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数

（2）解：因为a＞0，h（x）=ax﹣f（x），则h（x）=2ax﹣ln（x+ ），

由于h′（x）=2a﹣ = ，

所以在区间（﹣ ，﹣ ）上，h′（x）＜0；在区间（﹣ ，+∞）上，h′（x）＞0，

故h（x）的最小值为h（﹣ ），所以只需h（﹣ ）＞0，

即 ，即 ，解得a＞ ，

故a的取值范围是：（ ，+∞）

（3）解：x1+x2与0的大小关系是x1+x2＞0．

构造函数 ，

则 ， ，

因为 ，所以 ，0＜a2x2＜1，﹣1＜a2x2﹣1＜0， ，

则 ，即g'（x）＜0，所以函数g（x）在区间 上为减函数．

因为 ，所以g（x1）＞g（0）=0，

于是f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，又f（x1）=0，

则f（﹣x1）＞0=f（x2），由f（x）在（0，+∞）上为减函数，

可知x2＞﹣x1，即x1+x2＞0

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，问题转化为 ，解出即可；（3）构造函数 ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到f（﹣x1）﹣f（x1）＞0，判断出x1+x2与0的大小关系即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．