Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，an+2=(2-|sin

nπ

2

|)an+|sin

nπ

2

|(n=1，2，3…)．
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆；
（2）设bn=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n；
（3）在（2）的条件下，证明当n≥6时，|Sn-2|＜

1

n

．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a₂=2，知a3=(2-|sin

π

2

|)a1+|sin+

π

2

|=a1+1=2，由此能求出a₄，a₅，a₆．
（2）由a2n+1=[2-|sin

(2n-1)π

2

|]a2n-1+|sin

(2n-1)π

2

|=a2n-1+1，知a_2n+1-a_2n-1=1．所以a_2n-1=n．再由a2n+2=[2-|sin

(2n)π

2

|]a2n+|sin

(2n)π

2

|=2a2n，知a_2n=2ⁿ．所以，bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，由此能导出S_n．
（3）要证明当n≥6时，|Sn-2|＜

1

n

成立，只需证明当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1成立，用数学归纳法证明即可．

解答：解：（1）解：因为a₁=1，a₂=2，所以a3=(2-|sin

π

2

|)a1+|sin+

π

2

|=a1+1=2，
a₄=（2-|sinπ|）a₂+|sinπ|=2a₂=4，
同理a₅=3，a₆=8．（4分）
（2）解：因为a2n+1=[2-|sin

(2n-1)π

2

|]a2n-1+|sin

(2n-1)π

2

|=a2n-1+1，
即a_2n+1-a_2n-1=1．
所以数列{a_2n-1}是首项为1，公差为1的等差数列，因此a_2n-1=n．
又因为a2n+2=[2-|sin

(2n)π

2

|]a2n+|sin

(2n)π

2

|=2a2n，
所以数列{a_2n}是首项为2，公比为2的等比数列，因此a_2n=2ⁿ．
所以，bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

．（7分）Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

++

n

2n

，①

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

2

24

++

n

2n+1

．②
由①-②，得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

++

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

．
所以Sn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．（10分）
（3）证明：要证明当n≥6时，|Sn-2|＜

1

n

成立，只需证明当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1成立．（11分）
证：①当n=6时，

6×(6+2)

26

=

48

64

=

3

4

＜1成立．
②假设当n=k（k≥6）时不等式成立，即

k(k+2)

2k

＜1．
则当n=k+1时，

(k+1)(k+3)

2k+1

=

k(k+2)

2k

×

(k+1)(k+3)

2k(k+2)

＜

(k+1)(k+3)

(k+2)•2k

＜1．
由①②所述，当n≥6时，

n(n+2)

2n

＜1，即当n≥6时，|Sn-2|＜

1

n

．（15分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意不等式的性质和数学归纳法的合理运用．