Question

已知向量

a

=（-2，sinθ）与

b

=（cosθ，1）互相垂直，其中θ∈（

π

2

，π）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=

10

10

，

π

2

＜φ＜π，求cosφ的值．

Answer 1

分析：（1）根据向量垂直的充要条件，得向量

a

、

b

的数量积为零，可得θ的一个关系式，再结合正余弦的平方和为1，可得sinθ和cosθ的值；
（2）先求出角θ-φ的正余弦的值，再用配角：φ=θ-（θ-φ））=利用两角和与差的三角函数公式，可以求出cosφ的值．

解答：解：（1）∵

a

与

b

互相垂直，
则

a

•

b

=-2cosθ+sinθ=0，即sinθ=2cosθ，
代入sin²θ+cos²θ=1得sin 2θ=

4

5

，cos 2θ=

1

5

，
又∵θ∈ (

π

2

，π)，∴sinθ=

2 5

5

，cosθ= -

5

5

．
（2）∵

π

2

＜φ＜π，∴-

π

2

＜θ-φ＜

π

2

，
由sin（θ-φ）=

10

10

，结合同角三角函数关系得cos(θ-φ)=

3 10

10

∴cosφ=cos（θ-（θ-φ））=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=

2

2

．

点评：本题考查了和与差三角函数公式、同角三角函数的关系以及向量的数量积的计算，属于中档题．解题时应注意配角的技巧和求三角函数时角的范围问题．