Question

已知平面向量

α

，

β

(

α

≠

β

)满足|

α

|=2，且

α

与

β

-

α

的夹角为120°，t∈R，则|(1-t)

α

+t

β

|的取值范围是

[

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：根据|

α

|=2，且

α

与

β

-

α

的夹角为120°，算出

α

•(

β

-

α

)=-|

β

-

α

|．化简得(1-t)

α

+t

β

=

α

+t(

β

-

α

)，根据向量模的公式平方得|(1-t)

α

+t

β

|²=（|

β

-

α

|t-1）²+3，由平方非负的性质得出|(1-t)

α

+t

β

|²的最小值为3，即可得到|(1-t)

α

+t

β

|的取值范围．

解答：解：∵(1-t)

α

+t

β

=(1-t)

α

+t[

α

+(

β

-

α

)]=

α

+t(

β

-

α

)，
∴|(1-t)

α

+t

β

|²=[

α

+t(

β

-

α

)]²=

α

2+2t

α

•(

β

-

α

)+t²(

β

-

α

)2
∵|

α

|=2，且

α

与

β

-

α

的夹角为120°，
∴

α

•(

β

-

α

)=

|α|

•|

β

-

α

|cos120°=-|

β

-

α

|
由此可得|(1-t)

α

+t

β

|²=|

β

-

α

|²t²-2|

β

-

α

|t+4=（|

β

-

α

|t-1）²+3，
∵（|

β

-

α

|t-1）²≥0，当且仅当|

β

-

α

|t-1=0，即t=

1

| β - α |

时，|(1-t)

α

+t

β

|²的最小值为3．
∴|(1-t)

α

+t

β

|的最小值为

3

，可得则|(1-t)

α

+t

β

|的取值范围是[

3

，+∞)．
故答案为：[

3

，+∞)．

点评：本题着重考查了平面向量数量积的公式、向量模的公式和实数的平方为非负数的性质等知识，属于中档题．