Question

已知sin2(n+1)θ ＝ sin2nθ+sin2(n-1)θ, 且其中(n+1)θ, nθ, (n-1)θ是三角形的三内角, 则n的整数值是_________.

Answer 1

答案：2
解析：

解: 已知方程可化为: sin2(n+1)θ-sin2(n-1)θ ＝ sin2nθ,[sin(n+1)θ+sin(n-1)θ][sin(n+1)θ-sin(n-1)θ]＝sin2nθ 化简后, 得sin2nθ·sin2θ ＝ sin2nθ ∵(n+1)θ、(n-1)θ、nθ是三角形的三个内角. ∴(n+1)θ+(n-1)θ+nθ ＝ π, ∴3nθ ＝ π, nθ ＝  ∴sin2θ·sinπ ＝ sin2   sin2θ ＝ sin ∴2θ ＝ kπ+(-1)k ,  (k∈Z) 由此得 2θ ＝ ,或 2θ ＝ π 当θ ＝ 时, n ＝ 1不合题意, ∴当θ ＝时,n ＝ 2为所求.

提示：

先把原方程转化为 sin2(n+1)θ-sin2(n-1)θ ＝ sin2nθ, 再用平方差公式.