Question

已知函数f（x）=

2

sin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

）的最小正周期为π，将其图象向左平移

π

8

个单位得到函数．f（x）=

2

sinωx的图象．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（I）利用函数的周期求出ω，图象的平移求出φ，求出函数的解析式，利用函数的单调区间．求出函数f（x）的单调递增区间；
（II）确定函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的单调性．然后求出函数的最小值和最大值

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=

2

sin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

）的最小正周期为π，所以ω=

2π

π

=2，
故函数f（x）=

2

sin（2x+φ）将其图象向左平移

π

8

个单位得到函数．
得到f（x）=

2

sin[2（x+

π

8

）+φ]=

2

sin（2x+

π

4

+φ）=

2

sin2x的图象，
所以

π

4

+φ=0，φ=-

π

4

，
所以函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）．
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ   k∈Z 
所以-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ  k∈Z．
所以函数的单调增区间为：[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ）因为函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）在区间[

π

8

，

3π

8

]上为单调增函数，
在区间[

3π

8

，

3π

4

]上为减函数，
又f（

π

8

）=0，f（

3π

8

）=

2

，f（

3π

4

）=

2

sin（

3π

2

-

π

4

）=-

2

sin

π

4

=-1．
故函数f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的最小值为-1，最大值为

2

．

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调区间的应用，函数最值的求法，考查计算能力．