Question

已知集合A={x|2x-x2＞1}，B={x|lg（x²-2ax+a²）＞0}．
（Ⅰ）当a=1时，求A∩B；
（Ⅱ）若A∩B=?，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过指数不等式求出集合A，对数不等式求出集合B，然后求出交集．
（Ⅱ）利用A，B的交集是空集，列出关系式，求出实数a的范围即可．

解答：解：（I）因为集合A={x|2x-x2＞1}，所以A={x|x-x²＞0}={x|0＜x＜1}；
a=1，所以B={x|lg（x²-2ax+a²）＞0}={x|x²-2x+1＞1}={x|x＜0或x＞2]，
∴A∩B=∅；
（Ⅱ）因为A∩B=∅，A={x|x-x²＞0}={x|0＜x＜1}；
∴

C

U

A={x|x≤0，或x≥1}；
由题意可知x²-2ax+a²-1＞0⇒（x-a）²＞1的解集为{x|x＜a-1，或x＞1+a}，
B是{x|x≤0，或x≥1}的子集，
所以

a-1≤0 1+a≥1

；解得a∈[0，1]，
所以实数a的取值范围[0，1]．

点评：本题考查对数、指数不等式的求法，集合的基本运算，考查计算能力．