题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为 $数学公式$ ，短轴长为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若线段AB的长为 $数学公式$ ，求直线AB的方程．

解：（Ⅰ）由题意， $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ ，c=1．
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ------------（4分）
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|= $\text{[math]}$ ，不符合题意故舍掉；-----------（6分）
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ -----------（8分）
所以|AB|= $\text{[math]}$ ，------------（11分）
∵线段AB的长为 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴k²=2
∴k= $\text{[math]}$ ，------------（13分）
所以直线AB的方程为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．---------（14分）
分析：（Ⅰ）由椭圆 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）右顶点到右焦点的距离为 $\text{[math]}$ ，短轴长为 $\text{[math]}$ ，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|= $\text{[math]}$ ，不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y，利用韦达定理计算|AB|，结合线段AB的长为 $\text{[math]}$ ，即可求得k的值，从而可得直线AB的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，联立方程，正确运用韦达定理是关键．