题目内容

已知函数f(x)＝log2．

(1)判断并证明f(x)的奇偶性；

(2)若关于x的方程f(x)＝log2(x－k)有实根，求实数k的取值范围；

(3)问：方程f(x)＝x＋1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度为的区间(a，b)，使x0∈(a，b)；如果没有，请说明理由．(注：区间(a，b)的长度为b－a)

答案：
解析：

　　解：(1)由得－1＜x＜1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)；

　　因为f(－x)＋f(x)＝log2＋log2＝log2＝log21＝0，

　　所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．

　　(2)方程f(x)＝log2(x－k)有实根，也就是方程＝x－k即k＝x－在(－1，1)内有解，所以实数k属于函数y＝x－＝x＋1－在(－1，1)内的值域．

　　令x＋1＝t，则t∈(0，2)，因为y＝t－在(0，2)内单调递增，所以t－∈(－∞，1)．

　　故实数k的取值范围是(－∞，1)．

　　(3)设g(x)＝f(x)－x－1＝log2－x－1(－1＜x＜1)．

　　因为，且y＝log2x在区间(0，＋∞)内单调递增，所以log2＜log223，即4log2＜3，亦即log2＜．于是g(－)＝log2－＜0　　①

　　又∵g(－)＝log2－＞1－＞0　　②

　　由①②可知，g(－)·g(－)＜0，所以函数g(x)在区间(－，－)内有零点x0．

　　即方程f(x)＝x＋1在(－，－)内有实根x0．

　　又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是(－，－)．


练习册系列答案
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