Question

（Ⅰ）解关于x的不等式（lgx）²-lgx-2＞0；
（Ⅱ）若不等式（lgx）²-（2+m）lgx+m-1＞0对于|m|≤1恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）把lgx看作一个整体（未知数），此不等式是关于lgx的一元二次不等式，先解出lgx的取值范围，进而利用对数函数的单调性即可得出x的取值范围；
（II）设y=lgx，则原不等式可化为y²-（2+m）y+m-1＞0，y²-2y-my+m-1＞0．即（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．当y=1时，不等式不成立．设f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），则f（x）是m的一次函数，利用一次函数的单调性即可解出．
解答：解：（Ⅰ）∵（lgx）²-lgx-2＞0，
∴（lgx+1）（lgx-2）＞0．
∴lgx＜-1或lgx＞2．
∴．
（Ⅱ）设y=lgx，则原不等式可化为y²-（2+m）y+m-1＞0，∴y²-2y-my+m-1＞0．
∴（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．
当y=1时，不等式不成立．
设f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），则f（x）是m的一次函数，且一次函数为单调函数．
当-1≤m≤1时，若要
．
∴lgx＜-1或lgx＞3．
∴或x＞10³．
∴x的取值范围是．
点评：熟练掌握换元法、等价转化法、一元二次不等式的解法、一次函数的单调性是解题的关键．