题目内容

已知点P是以F₁、F₂为左、右焦点的双曲线 $数学公式$ 左支上一点，且满足PF₁⊥PF₂，且|PF₁|：|PF₂|=2：3，则此双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：根据双曲线的定义可知|PF²|-|PF¹|=2a，进而根据|PF₁|：|PF₂|=2：3，分别求得|PF₂|和|PF₁|，进而根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得．
解答：由 $\text{[math]}$ 得|PF₂|=6a，|PF₁|=4a；
在RT△PF₁F₂中，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²，
∴4c²=36a²+16a²，解得 $\text{[math]}$
故选D
点评：本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

=1以抛物线y2=4

x的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线x2=

y异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

已知椭圆E：

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是x轴上方椭圆E上的一点，且PF₁⊥F₁F₂，|PF1|=

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程和P点的坐标；
（Ⅱ）判断以PF₂为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系；
（Ⅲ）若点G是椭圆C：

=1(m＞n＞0)上的任意一点，F是椭圆C的一个焦点，探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系．

（2012•青岛一模）已知点M在椭圆D：

=1（a＞b＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点，若圆M与y轴相交于A，B两点，且△ABM是边长为

的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若

，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：

=1左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F₁做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直线GK是否存在？请说明理由．

已知点F₁（0，-1）和抛物线C₁：x²=2py的焦点F关于x轴对称，点M是以点F为圆心，4为半径的⊙F上任意一点，线段MF₁的垂直平分线与线段MF交于点P，设点P的轨迹为曲线C₂，
（1）求抛物线C₁和曲线C₂的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l分别与抛物线C₁及曲线C₂均只有一个公共点，若存在，求出所有这样的直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁

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（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线

异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．