Question

已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）设，证明：对任意，.

Answer 1

（Ⅰ）分类讨论得到单调性      （Ⅱ）构造函数用导数的方法证明.      

试题分析：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+)，  
当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；
当a≤－1时，＜0, 故f(x)在(0,+)单调减少；
当－1＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0, )时, ＞0；
x∈(，+)时，＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少   
(Ⅱ)不妨设x₁≥x₂.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.
所以等价于≥4x₁－4x₂,
即f(x₂)+ 4x₂≥f(x₁)+ 4x₁.         
令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.               
于是≤＝≤0.
从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x₁) ≤g(x₂)，即　f(x₁)+ 4x₁≤f(x₂)+ 4x₂，
故对任意x₁,x₂∈(0,+) ，.
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，属难题．