Question

若3x，2x+1，2x+4是钝角三角形的三条边，则实数x的取值范围是（　　）

• A、{x|x＞4}
• B、{x|x＞10+

  117

  }
• C、{x|1＜x＜

  2+ 19

  3

  }
• D、{x|1＜x＜

  2+ 19

  3

  或x＞10+

  117

  }

Answer 1

分析：根据余弦定理和三角形之间的关系建立方程进行求解即可．

解答：解：∵3x，2x+1，2x+4是钝角三角形的三边，
∴x＞0，且2x+4＞2x+1，
由3x=2x+4得x=4，
①当x＞4时，此时3x为最大边，设对应的角为A．
要使三角形为钝角三角形，
则cosA＜0，
即（2x+4）²+（2x+1）²-（3x）²＜0，
即x²-20x-17＞0，
解得x＞10+

117

．
此时还需满足两边之和大于第三边即可，
即2x+4+（2x+1）＞3x成立，
解得x＞-5．
此时满足x＞10+

117

．
②当x＜4时，3x＜2x+4，此时2x+4为最大边．
设2x+4对应的角为B．
要使三角形为钝角三角形，
则cosb＜0，
即（3x）²+（2x+1）²-（2x+4）²＜0，
即3x²-4x-5＜0，
解得

2- 19

3

＜x＜

2+ 19

3

，
同时满足两边之和大于第三边即可，
即3x+（2x+1）＞2x+4成立，
即x＞1，
∴此时满足1＜x＜

2+ 19

3

．
综上：1＜x＜

2+ 19

3

或x＞10+

117

．
故选：D．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形成立的条件，考查学生的计算能力．综合性较强，运算量较大．