Question

已知函数f（x）=

x2+3

x-a

（x≠a，a为非零常数）．
（1）解不等式f（x）＜x；
（2）设x＞a时，f（x）的最小值为6，求a的值．

Answer 1

分析：（1）不等式f（x）＜x，转化为分式不等式，然后转化为同解的一元二次不等式，解得即可；
（2）x＞a，就是x-a＞0，把f（x）的分子分组推出（x-a）+

a2+3

x-a

+2a，利用基本不等式求出最小值，最小值为6，再求a的值．

解答：解：（1）由f（x）＜x，得

x2+3

x-a

＜x，即

ax+3

x-a

＜0，等价于（ax+3）（x-a）＜0，
当a＞0时，化为（x+

3

a

）（x-a）＜0．
∵-

3

a

＜a，∴解集为{x|-

3

a

＜x＜a}．
当a＜0时，不等式化为（x+

3

a

）（x-a）＞0，
∵-

3

a

＞a，∴解集为{x|x＜a或x＞-

3

a

}．
（2）∵x＞a，∴x-a＞0．
f（x）=

x2+3

x-a

=

x2-a2+a2+3

x-a

=（x+a）+

a2+3

x-a

=（x-a）+

a2+3

x-a

+2a
≥2

x-a

+2a=2

a2+3

+2a．
当且仅当x=a+

a2+3

时，取“=”，
故f（x）_min=2

a2+3

+2a，
由已知2

a2+3

+2a=6，解得a=1．

点评：本题考查分式不等式的解法，基本不等式求函数的最值及其几何意义，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．