Question

⊙O半径为

2

R，AB，CD是互相垂直的直径，沿AB将圆面折成大小为θ的二面角．
（Ⅰ）当θ=90°时，求四面体D-ABC的表面积；
（Ⅱ）当θ=90°时，求异面直线AC与BD所成的角；
（Ⅲ）当θ为何值时，四面体D-ABC的体积V=

2

3

R3？

Answer 1

分析：（Ⅰ）当θ=90°时，先求底面面积再求侧面的高，然后求四面体D-ABC的表面积；
（Ⅱ）当θ=90°时，求异面直线AC与BD所成的角；
法一作出异面直线所成的角，然后求解即可．
法二建立空间直角坐标系，利用向量的数量积求解即可．
（Ⅲ）当θ为何值时，四面体D-ABC的体积V=

2

3

R3，先由此体积求出D到底面的距离，然后再求二面角的大小．

解答：解：（I）由已知，易得AC=CB=BD=DA=2R，
∵DO⊥AB，CO⊥AB∴∠DOC为二面角的平面角θ，
在Rt△DOC中，得DC=2R
于是△ADC，△BCD是全等的正三角形，边长为2R，
而△ACB，△ADB为全等的等腰直角三角形．
∴四面体D-ABC的表面积=2(

1

2

•AD•BD+AD•DCsin60°)
=2(

1

2

•2R•2R+

1

2

•2R•2R•

3

2

)
=(4+2

3

)R2；
（II）（方法一）设AD中点为M，CD中点为N，
连MN，MO，则AC∥MN，BD∥MO，
则∠NMO为异面直线AC与BD所成的角，
连NO，由（1）可得MN=MO=NO=R，
所以∠NMO=60°．

（方法二）∵DO⊥AB，CO⊥AB，θ=90°
∴分别以OC，OB，OD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则有A(0，-

2

R，0)，B(0，

2

R，0)，C(

2

R，0，0)，D(0，0，

2

R)
∴

CA

=(-

2

R，-

2

R，0)，

BD

=(0，-

2

R，

2

R)
设异面直线AC与BD所成的角所成的角为α，
则cosα=

CA • BD

| CA |•| BD |

=

2R2

4R2 • 4R2

=

1

2

所以异面直线AC与BD所成的角为60°；
（III）如图，作DG⊥CO于G，
∵AB⊥DO，AB⊥CO，∴AB⊥平面COD，从而AB⊥DG
∴DG⊥平面ABC，∴DG为四面体D-ABC的高，
在Rt△DOG中，DG=DOsinθ=

2

Rsinθ，
∴V=

1

3

•

1

2

AC•BC•DG=

2 2 R3

3

sinθ，
当V=

2

3

R3时，解得sinθ=

1

2

，所以θ=30°或150°．

点评：本题考查异面直线所成的角，棱锥的体积，是中档题．