Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 首先找到异面直线AB与CC₁所成的角（如∠A₁AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A₁B的长度即可；不妨设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．

解答 解：设BC的中点为D，连接A₁D、AD、A₁B，易知θ=∠A₁AB即为异面直线AB与CC₁所成的角；
并设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长为1，
则|AD|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，|A₁D|=$\frac{1}{2}$，|A₁B|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由余弦定理，得cosθ=$\frac{1+1-\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故选B．

点评 本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．