Question

f（x）=

1 |x-1|   x≠1 1           x=1

，方程[f（x）]³-

7

2

[f（x）]²+cf（x）-1=0有7个相异实根，则所有非零实根之积为（　　）

• A．

  9

  2

• B．

  7

  2

• C．-

  9

  2

• D．-

  7

  2

Answer 1

分析：由于方程[f（x）]³-

7

2

[f（x）]²+cf（x）-1=0有7个相异实根，所以f（x）=1满足方程[f（x）]³-

7

2

[f（x）]²+cf（x）-1=0，从而可得f（x）=1或2或

1

2

，进而可求方程的根，由此可得所有非零实根之积．

解答：解：由题意，f（x）=1满足方程[f（x）]³-

7

2

[f（x）]²+cf（x）-1=0
∴c=

7

2

∴[f（x）]³-

7

2

[f（x）]²+

7

2

f（x）-1=0
∴[f（x）-1][f（x）-2][f（x）-

1

2

]=0
∴f（x）=1或2或

1

2

由

1

|x-1|

=2，可得x=

3

2

或

1

2

；由

1

|x-1|

=

1

2

，可得x=3或-1；由f（x）=1，可得x=1或0或2
∴所有非零实根之积为

3

2

×

1

2

×3×(-1)×1×2=-

9

2

故选C．

点评：本题考查分段函数，考查方程的根，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．