Question

设f（x）=（x+1）ⁿ（其中n∈N₊）．
（1）若f（x）=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，求a₀及S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）当n=2013，计算：

C

1 2013

-2

C

2 2013

+…+k

C

k 2013

（-1）^k-1+…+2013

C

2013 2013

（-1）²⁰¹²．

Answer 1

分析：（1）取x=1，可求得a₀，再取x=2，可求得S_n；
（2）对（1+x）²⁰¹³的展开式，等号两端同时求导，再对x赋值-1即可求得答案．

解答：解：（1）取x=1，则a₀=2ⁿ；         …（2分）
取x=2，则a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ，…（4分）
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3ⁿ-2ⁿ．…（6分）
（2）由（1+x）²⁰¹³=

C

0 2013

+

C

1 2013

x+

C

2 2013

x²+…+

C

k 2013

x^k+…+

C

2013 2013

x²⁰¹³，…（8分）
两端求导得：
2013（1+x）²⁰¹²=

C

1 2013

+2

C

2 2013

x+…+k

C

k 2013

•x^k-1+…+2013

C

2013 2013

•x²⁰¹²…（12分）
令x=-1，得：

C

1 2013

-2

C

2 2013

+…+k

C

k 2013

•（-1）^k-1+…+2013

C

2013 2013

•（-1）²⁰¹²=0…（16分）

点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，（2）中对（1+x）²⁰¹³=

C

0 2013

+

C

1 2013

x+

C

2 2013

x²+…+

C

k 2013

x^k+…+

C

2013 2013

x²⁰¹³两端求导是关键，也是难点，考查观察、分析与运算能力，属于中档题．