题目内容
17．
水是最常见的物质之一，是包括人类在内所有生命生存的重要资源，也是生物体最重要的组成部分．为了推动对水资源进行综合性统筹规划和管理，加强水资源保护，解决日益严峻的淡水缺乏问题，开展广泛的宣传以提高公众对开发和保护水资源的认识．中国水利部确定每年的3月22日至28日为“中国水周”，以提倡市民节约用水．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．（Ⅰ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计该地家庭的平均用水量；
（Ⅱ）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；
（Ⅲ）用X表示在未来3个月里用水量低于12吨的月数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．
分析 （Ⅰ）同一组数据以该组区间的中点值作为代表，利用频率分布直方图能估计该地家庭的平均用水量．
（Ⅱ）设A1表示事件“月用水量不低于12吨”，A2表示事件“月用水量低于4吨”，B表示事件“在未来连续3个月里，有连续两个月的月用水量都不低于12吨，且另外1个月的用水量低于4吨”，分别求出P（A${\;}_{{1}_{\;}}$），P（A2），由每天的用水量相互独立，能求出P（B）．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
解答 解：（Ⅰ）同一组数据以该组区间的中点值作为代表，据此，估计该地家庭的平均用水量为：
2×0.037×4+6×0.0625×4+10×0.075×4+14×0.05×4+18×0.025×4=9.4（吨）．
（Ⅱ）设A1表示事件“月用水量不低于12吨”，A2表示事件“月用水量低于4吨”，
B表示事件“在未来连续3个月里，有连续两个月的月用水量都不低于12吨，且另外1个月的用水量低于4吨”，
因此，P（A${\;}_{{1}_{\;}}$）=（0.05+0.025）×4=0.3，
P（A2）=0.0375×4=0.15，
∵每天的用水量相互独立，
∴P（B）=0.3×0.3×0.15×2=0.027．
（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，相应的概率分别为：
P（X=0）=${C}_{2}^{0}（1-0.3）^{3}$=0.343，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}•0.3•（1-0.3）^{2}$=0.441，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•0．{3}^{2}•（1-0.3）$=0.189，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}•0．{3}^{3}$=0.027，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.343 | 0.441 | 0.189 | 0.027 |
（或∵X～B（3，0.3），∴E（X）=3×0.3=0.9）．
点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．| 甲 | 52 | 5149 | 48 | 53 | 48 | 49 |
| 乙 | 60 | 6540 | 35 | 25 | 65 | 60 |
（2）画出茎叶图，并说明哪个车间的产品比较稳定．
在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=2．