Question

设，方程f（x）=x有唯一解，已知f（x_n）=x_n+1（n∈N₊），且．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，且（n∈N₊），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）f（x）=x变形为 x=0或，
∴的解为x=0
解得：，
∴…（2分）
f（x_n）=x_n+1，即，
∴，
∴{}为公差为的等差数列，…（4分）
∴，
∴…（6分）
（Ⅱ）…（7分）
…（10分）
∴．…（12分）
分析：（Ⅰ）f（x）=x变形为 x=0或，解得，故，，由此能证明数列为等差数列，并能求出数列{x_n}的通项公式．
（Ⅱ）由，得，由此能求出数列{b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．