Question

2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在平面内将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形A′BC′D′，则点D′到直线AB的距离是$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 画出图形，利用三角函数的关系，通过两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式求解即可．

解答 解：连结BD，D′B，设∠DBA=α，由题意可知：BD=$\sqrt{5}$，D′B=$\sqrt{5}$．
tan$α=\frac{1}{2}$，
∠D′BA=α+60°，sin²（α+60°）=（sinαcos60°+cosαsin60°）²=（$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）²
=$\frac{1}{4}{sin}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα+\frac{3}{4}{cos}^{2}α$
=$\frac{\frac{1}{4}{sin}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinαcosα+\frac{3}{4}{cos}^{2}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}$
=$\frac{\frac{1}{4}{tan}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}tanα+\frac{3}{4}}{{tan}^{2}α+1}$
=$\frac{\frac{1}{4}×（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}{{（\frac{1}{2}）}^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{5}}$．
点D′到直线AB的距离：
∴sin（α+60°）=$\frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{5}}×\sqrt{5}$=$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$，
故答案为：$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角形中的基本运算，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．