Question

已知f(x)=x²+x+c，且f[f(x)]=f(x²+x+1)

（1）设g(x)=f[f(x)]，求g(x)的解设式；

（2）设j(x)=g(x)-lf(x)，试问：是否存在实数l，使得j(x)在(-¥，-1)上是减函数，并且在(-1，-)上是增函数．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）因为f(x)=x2+x+c，且f[f(x)]=f(x2+x+1) 所以(x2+x+c)2+x2+x+c+c=(x2+x+1)2+x2+x+1+1， (2c-2)x2+(2c-2)x+c2+c-2=0  故c=1， 所以g(x)=f[f(x)]=x4+2x3+4x2+3x+3． （2）假设存在实数l，使得j (x)在(-¥，-1)上是减函数，并且在(-1，)上是增函数． ∵ j(x)=g(x)-lf(x)=x4+2x3+4x2+3x+3+l(x2+x+1)=x4+2x3+(4-l)x2+(3-l)x+(3-l) ∴ j¢(x)=4x3+6x2+2(4-l)x+(3-l) 由j(x)在(-¥，-1)上是减函数，并且在(-1，)上是增函数可得j¢(-1)=0 所以-4+6-8+2l+3-l=0，解得l=3． ∴ j¢(x)=4x3+6x2+2x=2x(2x+1)(x+1) ∴ 当xÎ(-¥，-1)时，j¢(x)=4x3+6x2+< span lang=EN-US>2x=2x(2x+1)(x+1)<0， 此时j(x)在(-¥，-1)上是减函数；当xÎ(-1，)时，j¢(x)=4x3+6x2+2x=2x(2x+1)×(x+1)>0，此时j(x)在(-1，)上是增函数． 存在实数l=3，使得j(x)在(-¥，-1)上是减函数，并且在(-1，)上是增函数．