Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-

2

5

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据“定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称“得出奇偶性，再判断b，d的值，再有在1处的极值求出a，c．
（Ⅱ）用假设法证明．对于存在性问题，可先假设存在，即假设x轴上存在满足条件的点C（x₀，0），再利用导数的几何意义，求出不等关系，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
所以f（x）=ax³+cx，因此f'（x）=3ax²+c
由题意得

f(1)=a+c=- 2 5 f′(1)=3a+c=0

，
解得 a=

1

5

，c=-

3

5

所以f（x）=

1

5

x 3-

3

5

x．
（II）不存在．
证明：假设存在x₁，x₂，则f'（x₁）•f'（x₂）=-1
所以（x₁²-1）（x₂²-1）=-4
因为x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
因此（x₁²-1）（x₂²-1）≠-4
所以不存在．

点评：该题考查导数的几何意义、函数奇偶性对应的奇数次项系数的值以及偶数次项系数的值，考查反证法的使用，考查两数之间最值之差最大，为中等题，