Question

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{b_n}满足b_n+2－2b_n+1＋b_n＝0(n∈N^*)，且b₃＝11，前9项和为153．

(Ⅰ)求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)设f(n)＝，问是否存在m∈N^*，使得f(m＋15)＝5f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意，得＝n＋，即Sn＝n2＋n．　1分 　　故当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝n＋5．　3分 　　当n＝1时，a1＝Sl＝6，所以，an＝n＋5(n∈N*)．　4分 　　又bn+1－2bn+1＋bn＝0，即bn+2－bn+l＝bn+1－bn(n∈N*)， 　　所以{bn}为等差数列，　5分 　　于是＝153． 　　而b3＝11，故b7＝23，d＝．　7分 　　因此，bn＝b3＋3(n－3)＝3n＋2，即bn＝3n＋2(n∈N*)．　8分 　　(Ⅱ)f(n)＝　9分 　　①当m为奇数时，m＋15为偶数． 　　此时f(m＋15)＝3(m＋15)＋2＝3m＋47，5f(m)＝5(m＋5)＝5m＋25， 　　所以3m＋47＝5m＋25，m＝11．　1分 　　②当m为偶数时，m＋15为奇数， 　　此时f(m＋15)＝m＋15＋5＝m＋20，5f(m)＝5(3m＋2)＝15m＋10， 　　所以m＋20＝15m＋10，m＝N*(舍去)．　13分 　　综上，存在唯一正整数m＝11，使得f(m＋15)＝5f(m)成立．　14分