Question

【题目】已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl lBMl为定值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知， ，又 ，

解得

∴椭圆的方程为

（2）

解：方法一：

设椭圆上一点 ，则 .

直线 ： ,令 ，得 .

∴

直线 ： ,令 ，得 .

∴

将 代入上式得

故 为定值.

方法二：

设椭圆 上一点 ，

直线PA: ,令 ，得 .

∴

直线 : ,令 ，得 .

∴

故 为定值

【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设椭圆上点P（x0 ， y0），可得x02+4y02=4，求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，化简整理，即可得到|AN||BM|为定值4．方法二、设P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），求出直线PA的方程，令x=0，求得y，|BM|；求出直线PB的方程，令y=0，可得x，|AN|，运用同角的平方关系，化简整理，即可得到|AN||BM|为定值4．