题目内容

2．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，给出下列四个命题：
①点E到平面ABC1D1的距离为$\frac{1}{2}$；
②直线BC与平面ABC1D1所称角为45°；
③空间四边形ABCD1在该正方体六个面内射影面积的最小值为$\frac{1}{2}$；
④正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条，
其中正确命题的个数是（　　）
A．1B．2C．3D．4

分析 根据点E到平面ABC1D1的距离等于点1到平面ABC1D1的距离，判断①即可；
直线BC与平面ABC1D1所称角为∠CB1C1，利用Rt△CB1C1求解即可；
把空间四边形ABCD1在该正方体左右，前后上下的射影面积求解判断最小值即可，
利用平行，相交得出正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条，其中有BB1，D1C1，DC，AA1，BC，

解答 解：∵EB1∥平面ABC1D1，
∴点E到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离，
∴点E到平面ABC1D1的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故①不正确；
∵直线BC与平面ABC1D1所称角为∠CB1C1，
∴在Rt△CB1C1中，∠CB1C1=45°，
故②正确；

∵空间四边形ABCD1在该正方体上下面的射影面积为1，
空间四边形ABCD1在该正方体左右，前后的射影面积为$\frac{1}{2}$；
∴空间四边形ABCD1在该正方体六个面内射影面积的最小值为$\frac{1}{2}$；
故③正确；
∵正方体的所有棱中，与AB，CC1均共面的棱共有5条，其中有BB1，D1C1，DC，AA1，BC，
∴④正确，
故选：C

点评 本题综合参考了正方体的几何性质，空间直线，平面的距离，夹角问题，化立体为平面求解，属于中档题，关键是仔细看图得出所求解的线段，夹角．

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