Question

已知函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0是常数．
（1）判断函数在定义域上的单调性；
（2）对?n∈N^*，不等式恒成立，求常数p的取值范围．

Answer 1

解：（1），
若，f（x）在定义域区间（-1，+∞）上单调增加；
若，由f^/（x）=0解得，，
f（x）在（-1，x₁）上单调增加，在（x₁，x₂）上单调减少，在（x₂，+∞）上单调增加．

（2）设g（x）=ln（x+1）-x-px²，其中0≤x≤1.，1≤x+1≤2，．
若，则g^/（x）≥0，g（x）＞g（0）=0，从而?n∈N^*，；
若，则g^/（x）≤0，g（x）＜g（0）=0，从而?n∈N^*，；
若，解g^/（x）=0，得x₁=0或，而且x₂是g（x）的一个极小值点．
综上所述，使不等式（n∈N^*）恒成立的p的取值范围是．
分析：（1）先求导：，由二次函数法研究导数大于或小于等于零，从而得到单调性．
（2）先构造函数g（x）=ln（x+1）-x-px²，求导得.，1≤x+1≤2，研究单调性，若，则g^/（x）≥0，函数是增函数；若，则g^/（x）≤0，函数是减函数；若，求得g（x）的极值点，最后转化为最值法解决．
点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，（2）是数列不等式，需要关注两点，一是构造函数并运用函数的单调性证明数列不等式，二是根据解题要求选择是否分离变量．