题目内容
已知实数c≥0，曲线C：y=
与直线l:y=x-c的交点为P（异于原点O），在曲线C上取一点P1（x1,y1），过点P1作P1Q1平行于x轴，交直线l于点Q1，过点Q1作Q1P2平行于y轴，交曲线C于点P2（x2,y2）,接着过点P2作P2Q2平行于x轴，交直线l于点Q2，过点Q2作直线Q2P3平行于y轴，交曲线C于点P3（x3,y3），如此下去，可以得到点P4(x4,y4),P5(x5,y5),…，Pn(xn,yn),….设点P的坐标为(a,
),x1=b,0＜b＜a.(Ⅰ)试用c表示a，并证明a≥1;
(Ⅱ)试证明x2＞x1,且xn＜a(n∈N*);
(Ⅲ)当c=0,b≥
时，求证：
＜
(k,n∈N*).
解：（Ⅰ）点P的坐标（a,）满足方程组,所以=a-c,
解a--c=0,得=
,所以a=
(1+2c+
)
因为c≥0,所以1+2c+
≥2,所以a≥1.
(Ⅱ)由已知P1（b,
）,Q1（
+c,
）,P2(
+c,
).
即x1=b,x2=
+c.
x2-x1=
+c-b,由（Ⅰ）c=a-
.
所以x2-x1=
+a-
-b=(
)(
),
因为0＜b＜a,a≥1,所以x2＞x1.
下面用数学归纳法证明xn＜a(n∈N*).
当n=1时，x1=b＜a;
假设当n=k时，xk＜a,由已知xk+1=yk+c,xk＞0,
所以,xk+1=
+c=
+a-
＜a.
综上，xn＜a(n∈N*).
(Ⅲ)当c=0时，
≤b＜a=1,xn+1=yn=
(n∈N*).
所以xn=
=
=…=
=
因为b≥
,所以当k≥1时，xk+2≥x3≥
,所以，
≤
.
又xk+1-xk=
-
＞0.
所以
≤b=x1≤xn＜a=1,xn-x1＜1-
=
,
所以，
≤
=
(xn+1-x1)＜
.
练习册系列答案
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与直线l：y=x-c的交点为P(异于原点O)，在曲线C上取一点P1(x1,y1)，过点P1作P1Q1平行于x轴，交直线l于点Q1，过点Q1作Q1P2平行于y轴，交曲线C于点P2(x2,y2)，接着过点P2作P2Q2平行于x轴，交直线l于点Q2，过点Q2作直线Q2P3平行于y轴，交曲线C于点P3(x3,y3)，如此下去，可以得到点P4(x4,y4),P5(x5,y5),…, Pn(xn,
),x1=b,0＜b＜a.
时，求证:
＜
(k,N∈N*).
与直线l：y=x-c的交点为P（异于原点O）．在曲线C上取一点P1（x1，y1），过点P1作P1Q1平行于x轴，交直线l于Q1，过点Q1作Q1P2平行于y轴，交曲线C于P2（x2，y2）；接着过点P2作P2Q2平行于x轴，交直线l于Q2，过点Q2作Q2P3平行于y轴，交曲线C于P3（x3，y3）；如此下去，可得到点P4（x4，y4），P5（x5，y5），…，Pn（xn，yn），设点P坐标为
，x1=b，0＜b＜a．
时，求证：
．
与直线l：y=x-c的交点为P（异于原点O）．在曲线C上取一点P1（x1，y1），过点P1作P1Q1平行于x轴，交直线l于Q1，过点Q1作Q1P2平行于y轴，交曲线C于P2（x2，y2）；接着过点P2作P2Q2平行于x轴，交直线l于Q2，过点Q2作Q2P3平行于y轴，交曲线C于P3（x3，y3）；如此下去，可得到点P4（x4，y4），P5（x5，y5），…，Pn（xn，yn），设点P坐标为
，x1=b，0＜b＜a．
时，求证：
．