Question

已知实数c≥0，曲线与直线l：y=x-c的交点为P（异于原点O）．在曲线C上取一点P₁（x₁，y₁），过点P₁作P₁Q₁平行于x轴，交直线l于Q₁，过点Q₁作Q₁P₂平行于y轴，交曲线C于P₂（x₂，y₂）；接着过点P₂作P₂Q₂平行于x轴，交直线l于Q₂，过点Q₂作Q₂P₃平行于y轴，交曲线C于P₃（x₃，y₃）；如此下去，可得到点P₄（x₄，y₄），P₅（x₅，y₅），…，P_n（x_n，y_n），设点P坐标为，x₁=b，0＜b＜a．
（1）试用c表示a，并证明a≥1；
（2）证明：x₂＞x₁，且x_n＜a（n∈N^*）；
（3）当时，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）点P的坐标满足方程组，由 ，可得 a≥1．
（2）由 ，0＜b＜a，a≥1，可得
 ，即x₂＞x₁．用数学归纳法证明x_n＜a．
（3）当c=0时，，由 ，可得 x_k单调递增．当n≥1时，
，，
从而得到  ．
解答：（1）点P的坐标满足方程组，∴，
解得平方，得，∵c≥0
∴，所以a≥1．
（2）由已知，得 ，，，
即x₁=b，，．   由（1）知，
∴，∵0＜b＜a，a≥1，
∴，即x₂＞x₁；
下面用数学归纳法证明x_n＜a（n∈N^*）：①当n=1时，x₁=b＜a；
②假设当n=k时，x_k＜a，则当n=k+1时，；
综上，x_n＜a（n∈N^*）．
（3）当c=0时，，，∴，
∵，∴x_k单调递增．
∴当n≥1时，有，即，
又，∴，
∴．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，用数学归纳法证明不等式，判断P的坐标满足方程组，是解题的突破口．