Question

某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.如图所示，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在上.设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在的何处时，该健身室的面积最大?最大面积是多少？

Answer 1

解:延长GH交CD于点N，则NH=40sinθ,CN=40cosθ.

∴HM=ND=50-40cosθ,AM=50-40sinθ.

故S=(50-40cosθ)(50-40sinθ)=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤).

令t=sinθ+cosθ=sin(θ+),

则sinθcosθ=,且t∈［1,］.

∴S=100［25-20t+8(t²-1)］=800(t-)²+450.

又t∈［1, ］,∴当t=1时，S_max=500,

此时sin(θ+)=1sin(θ+)=.

∵≤θ+≤,∴θ+=或,即θ=0或θ=.

答:当点H在的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大面积是500 m².