题目内容
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F、G分别为棱AA1、CC1、A1B1的中点，则下列几个命题：
①在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条;
②点G到平面ABC1D1的距离为
③直线AA1与平面ABC1D1所成的角等于45°；
④空间四边形ABCD1在正方体六个面内形成六个射影，其面积的最小值是
⑤直线A1C1与直线AG所成角的余弦值为
;
⑥若一直线PQ既垂直于A1D,又垂直于AC,则直线PQ与BD1是垂直不相交的关系．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
【答案】
①③④⑤；解析：在EF上任意取一点M,直线
与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的．所以①正确;
易求得点G到平面ABC1D1的距离为
,
所以②错;根据线面角的定义知③正确;
空间四边形ABCD1在正方体的面AA1D1D内形成的射影面积为
是在正方体六个面内形成六个射影面积的最小值,所以④正确;
由于AC∥A1C1,因此,直线AC与直线AG所成角等于直线A1C1与直线AG所成的角,所以余弦值为
,
所以⑤正确;
由线面垂直的性质定理易知直线PQ与BD1是平行的关系．所以⑥错．
练习册系列答案
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如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中分离出来的：
已知边长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB1上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
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如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，过A1，M，C三点的平面与CD所成角正弦值（ ）