Question

【题目】如图，在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C．
（1）求证：AD1⊥BC；
（2）若直线DD1与直线AB所成角为 ，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值函数值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接D1C，则D1C⊥平面ABCD，

∴D1C⊥BC

在等腰梯形ABCD中，连接AC

∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD

∴BC⊥AC

∴BC⊥平面AD1C

∴AD1⊥BC

（2）解法一：

∵AB∥CD∴

∵CD=1∴

在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D1M，则D1M⊥AB，所以∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角

在Rt△D1CM中， ，

∴ ∴

即平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为

解法二：

由（Ⅰ）知AC、BC、D1C两俩垂直，

∵AB∥CD∴ ∴

在等腰梯形ABCD中，连接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD，

所以 ，建立如图空间直角坐标系，

则 ，B（0，1，0），

设平面ABC1D1的一个法向量

由 得

可得平面ABC1D1的一个法向量 ．

又 为平面ABCD的一个法向量．

因此

所以平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）证明：连接D1C，证明BC⊥平面AD1C，利用直线与平面垂直的性质定理证明AD1⊥BC．（Ⅱ）解法一：连接D1M，则D1M⊥AB，说明∠D1MC为平面ABC1D1与平面ABCD所成角的一个平面角，在Rt△D1CM中，求出 ，得到平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为 ．

解法二：

由（Ⅰ）知AC、BC、D1C两俩垂直，建立如图空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABC1D1的一个法向量，平面ABCD的法向量．通过向量的数量积求解平面ABC1D1和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行即可以解答此题．