Question

已知集合P={x|

1

2

≤x≤3}，集合Q是函数f（x）=log₂（ax²-2x+2）的定义域．
（1）若P∩Q=[

1

2

，

2

3

)，P∪Q=(-2，3]，求实数a的值；
（2）若P∩Q=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）结合题意，得出不等式ax²-2x+2＞0的解集为(-2，

2

3

)．说明a为负数且

2 a =-2+ 2 3 2 a =-2× 2 3

，可得实数a的值；
（2）P∩Q=∅，问题等价于?x∈P，ax²-2x+2≤0在区间[

1

2

，3]恒成立，采用变量分离，可得：．a≤-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

，结合

1

3

≤

1

x

≤2，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵P∩Q=[

1

2

，

2

3

)，P∪Q=(-2，3]，P=[

1

2

，3]，
∴Q=(-2，

2

3

)．
即不等式ax²-2x+2＞0的解集为(-2，

2

3

)．
∴a＜0且

2 a =-2+ 2 3 2 a =-2× 2 3

．
∴a=-

3

2

．
（2）∵P∩Q=∅，
∴问题等价于?x∈P，ax²-2x+2≤0恒成立．
∵

1

2

≤x≤3，
∴a≤

2x-2

x2

=-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

．
∵

1

3

≤

1

x

≤2，
∴-2(

1

x

-

1

2

)2+

1

2

∈[-4，

1

2

]．
∴a≤-4．

点评：本题考查了集合中的参数取值问题，属于中档题．在处理恒成立问题时，用变量分离的方法可以简化运算．