Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程.

Answer 1

解析：(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0.

∵该直线与圆x²+(y-)²=1相切，

∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.

故设双曲线C的方程为=1.

又双曲线C的一个焦点为(,0)，∴2a²=2,a²=1.

∴双曲线C的方程为x²-y²=1.

(2)若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|QF₁|.

若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|.

根据双曲线的定义|TF₂|=2，所以点T在以F₂(,0)为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是(x-)²+y²=4(x≠0).                                                  ①

由于点N是线段F₁T的中点，设N(x,y),T(x_T,y_T),则即

代入①并整理得点N的轨迹方程为x²+y²=1(x≠-).