Question

20．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$（n≥1，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N^*，不等式a₁•a₂…a_n＜2•n!成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代值计算即可，
（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$（n≥1），
∴a₁=$\frac{1×3}{3-1}$=$\frac{3}{2}$，a₂=$\frac{2×9}{9-1}$=$\frac{9}{4}$，a₃=$\frac{3×27}{27-1}$=$\frac{81}{26}$，
（Ⅱ）∵a_n=$\frac{n•{3}^{n}}{{3}^{n}-1}$=$\frac{n}{1-\frac{1}{{3}^{n}}}$，可得a₁•a₂…a_n=$\frac{n！}{（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{{3}^{2}}）…（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}$，
因此欲证明不等式a₁•a₂…a_n＜2•n!成立，只需要证明对一切非零自然数n，不等式（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞$\frac{1}{2}$恒成立即可，
显然左端每个因式都为正数，且因1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=1-$\frac{1}{3}$（$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$）=1-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＞1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故只需要证明对非零自然数，不等式（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）恒成立即可，
下面用数学归纳法证明该不等式成立，
①显然当n=1时，不等式1-$\frac{1}{3}$≥1-$\frac{1}{3}$成立，
②假设当n=k时不等式成立，即（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{3}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）成立，
那么当n=k+1时，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$）≥[1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）]（1-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$），
即不等式右边=1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$），
注意到$\frac{1}{{3}^{k+1}}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$）＞0，
所以，（1-$\frac{1}{3}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{3}^{k}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{k+1}}$）≥1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{k}}$+$\frac{1}{{3}^{k+1}}$），
这说明当n=k+1时，不等式也成立，
由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，

点评 本题考查数列的通项公式，分析法，阶乘公式，数学归纳法，考查了学生的逻辑推理能力和分析解决问题的能力，属于难题