题目内容

矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点M （2，0），AB边所在直线的方程为：x-3y-6=0．若点N（1，-5）在直线AD上．
（1）求点A的坐标及矩形ABCD外接圆的方程；
（2）过直线x-y+4=0上一点P作（1）中所求圆的切线，设切点为E、F，求四边形PEMF面积的最小值，并求此时 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵AB⊥AD，AB边所在直线的斜率为 $\text{[math]}$ ，∴直线AD斜率为-3．
故直线AD方程为 y+5=-3（x-1），即 3x+y+2=0．
由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，∴点A的坐标为（0，-2）．
由题意可得，矩形ABCD外接圆的圆心即点M （2，0），半径等于AM=R=2 $\text{[math]}$ ，
故矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）²+y²=8．
（2）由圆的切线性质可得四边形PEMF面积S=PE•R=R $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ．
由于PM的最小值即为圆心M到直线直线x-y+4=0的距离d= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
故四边形PEMF面积S的最小值为 2 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ．
此时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设∠MPE=∠MPF=α，则sinα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos2α= $\text{[math]}$ （1-2sin²α）=10（1-2× $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）用点斜式求出直线AD方程，把它与AB边所在直线的方程联立方程组求出点A的坐标．再由圆心即点M （2，0），半径等于AM=R=2 $\text{[math]}$ ，求出矩形ABCD外接圆的方程．
（2）由切线性质可得四边形PEMF面积S=PE•R=R $\text{[math]}$ ，根据PM的最小值即为圆心M到直线直线x-y+4=0的距离d，由此求得四边形PEMF面积S的最小值．
设∠MPE=∠MPF=α，则sinα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ cos2α= $\text{[math]}$ （1-2sin²α），运算求得结果．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求圆的标准方程的方法，圆的切线性质，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．