Question

设函数f(x)＝e^x－ax－2.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

解析　(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e^x－a.

若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．

(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e^x－1)＋x＋1.

故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于

k<ex－1(x＋1)＋x(x>0)． ①

令g(x)＝ex－1(x＋1)＋x，则g′(x)＝(ex－1)2(－xex－1)＋1＝(ex－1)2(ex(ex－x－2)).

由(1)知，函数h(x)＝e^x－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1,2)．

当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得e^α＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.