Question

对于函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|的图象，说法正确的为（ ）
A．图象无对称轴，且在R上不单调
B．图象无对称轴，且在R上单调递增
C．图象有对称轴，且在对称轴右侧不单调
D．图象有对称轴，且在对称轴右侧单调递增

Answer 1

【答案】分析：函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|表示数轴上的x对应点到1，2，3，4…2012的距离之和，f（x）的图象关于直线 x= 对称如图所示：结合图形得出结论．
解答：解：由绝对值的意义可得函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|表示数轴上的x对应点到1，2，3，4…2012的距离之和，
当x∈[1，2012]时，|x-1|+|x-2012|取得最小值等于2011，
当x∈[2，2011]时，|x-2|+|x-2011|取得最小值等于2009，
当x∈[3，2010]时，|x-3|+|x-2010|取得最小值等于2007，
…
当x∈[1006，1007]时，|x-1006|+|x-1007|取得最小值等于1．
故当x∈[1006，1007]时，函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-2012|=（|x-1|+|x-2012|）+（|x-2|+|x-2011|）+（|x-3|+|x-2010|）+…（|x-1006|+|x-1007|）
取得最小值为2011+2009+2007+…+1=1006²．

故函数 f（x）的图象关于直线 x= 对称．
当x＜1时，函数y=（1-x）+（2-x）+（3-x）+…+（2012-x）=-2012x+2013×1006，
当x＞2012时，函数y=（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+（x-2012）=2012x-2013×1006，
如图所示：

故图象有对称轴，且在对称轴右侧单调递增，
故选D．
点评：本题主要考查绝对值的意义，带有绝对值的函数，体现了数形结合、分类讨论的数学思想，属于中档题．