Question

对于给定的以下四个命题，其中正确命题的个数为（　　）
①函数f(x)=

x2-2x

x-2

是奇函数；
②函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂则一定有f（x₁）＜f（x₂）；
③函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时有f(x)=

x

+1，则当x＜0，f（x）=-

-x

-1；
④函数y=x+

1-2x

的值域为{y|y≤1}．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①由f(x)=

x2-2x

x-2

=x（x≠2）的定义域关于原点不对称，可得函数是非奇非偶函数
②例如y=sinx在（0，，

1

2

π），（2π，

5π

2

）上单调递增，取x1=

π

4

，x2=

9π

4

，但是f（x₁）=f（x₂），
③函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时有f(x)=

x

+1，则当x＜0，-x＞0，则可得f（x）=-f（-x）可求
④函数y=x+

1-2x

，令t=

1-2x

则x=

1-t2

2

，且t≥0，从而有y=

1-t2

2

+t=-

1

2

(t2-2t-1)=-

1

2

(t-1)2+1，利用二次函数的性质可求

解答：解：①∵f(x)=

x2-2x

x-2

=x（x≠2）的定义域关于原点不对称，故函数是非奇非偶函数，①错误
②函数f（x）在（a，b）和（c，d）都是增函数，若x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），且x₁＜x₂则一定有f（x₁）＜f（x₂）错误，例如y=sinx在（0，，

1

2

π），（2π，

5π

2

）上单调递增，取x1=

π

4

，x2=

9π

4

，但是f（x₁）=f（x₂），故②错误．
③函数f（x）在R上为奇函数，且当x＞0时有f(x)=

x

+1，则当x＜0，-x＞0，则可得f（x）=-f（-x）=-

-x

-1，故③正确
④函数y=x+

1-2x

，令t=

1-2x

则x=

1-t2

2

，且t≥0，
∴y=

1-t2

2

+t=-

1

2

(t2-2t-1)=-

1

2

(t-1)2+1
当t=1时，函数有最大值1，即函数的值域为{y|y≤1}故④正确
故选B

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判定，解题中不要漏掉函数定义域的考虑，函数单调性的应用，及由奇函数的性质求解函数解析式，利用换元法求解函数的值域，综合考查了函数的性质的应用．