Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

．
（I）求

sinC

sinA

的值；
（II）若cosB=

1

4

，△ABC的周长为5，求b的长，并求cos(2A+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出

sinC

sinA

的值．
（II）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．利用余弦定理求出cosA，sinA，通过两角和的余弦函数以及二倍角公式，即可求解cos(2A+

π

4

)的值．

解答：解：（I）因为

cosA-2cosC

cosB

=

2c-a

b

所以

cosA-2cosC

cosB

=

2sinC-sinA

sinB

即：cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-COSbsinA
所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA
所以

sinC

sinA

=2
（II）由（1）可知c=2a…①
a+b+c=5…②
b²=a²+c²-2accosB…③
cosB=

1

4

…④
解①②③④可得a=1，b=c=2；
所以b=2，由余弦定理可知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7

8

，所以sinA=

15

8

，
∴cos(2A+

π

4

)=

2

2

cos2A-

2

2

sin2A
=

2

cos2A-

2

2

-

2

sinAcosA
=

2

(

7

8

)2-

2

2

-

2

×

15

8

×

7

8

=

17 2 -7 30

64

．

点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型．