Question

已知函数f（x）=

x2+c

ax+b

为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集为[-2，-1]∪[2，4]，则f（x）的解析式为______．

Answer 1

∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴

x2+c

-ax+b

=

x2+c

-ax-b

，即-ax+b=-ax-b，即2b=0，
∴b=0．
由已知不等式0≤f（x）≤

3

2

的解集为[-2，-1]∪[2，4]，
∴

f(2)≥0 f(-2)≥0

，
又∵f（-2）=-f（2），
∴f（2）=0，即

22+c

2a

=0，即c+4=0，
∴c=-4．
∴可得f（x）=

x2-4

ax

．
由f（1）＜f（3），得

1-4

a

＜

9-4

3a

，∴

-3

a

＜

5

3a

，∴

14

3a

＞0，得a＞0．
由0≤f（x）≤

3

2

，得0≤

x2-4

ax

≤

3

2

，
当x＞0时，上不等式可化为

x2-4≥0 2x2-3ax-8≤0

，可化为

x≥2 2x2-3ax-8≤0

，
∵当x＞0时，其解集为[2，4]，
∴4是方程2x²-3ax-8=0的解，
∴2×4²-3×4a-8=0，∴a=2．
可验证当a=2，b=0，c=-4时，满足题意．
故f（x）的解析式为f（x）=

x2-4

2x

．
故答案为f（x）=

x2-4

2x

．