Question

设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：

①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导函数f′(x)满足0＜f′(x)＜1.

(1)判断函数f(x)=x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；

(2)集合M中的元素f(x)具有下列性质：

    若f(x)的定义域为I,则对于任意［m,n］I都存在x₀∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x₀)成立.

请利用这一性质证明：方程f(x)-x=0有唯一的实数根；

(3)若存在实数x₁,使得M中元素f(x)定义域中的任意实数a、b都有|a-x₁|＜1和|b-x₁|＜1成立，证明：|f(b)-f(a)|＜2.

Answer 1

解：(1)因为f′(x)=+cosx,

∴f′(x)∈［,］,满足条件0＜f′(x)＜1,

    又∵当x=0时，f(0)=0  ∴方程f(x)-x=0有实数根0.

∴f(x)=x+sinx是集合M中的元素.

(2)假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α、β(α≠β)，

    则f(α)-α=0,f(β)-β=0.

    不妨设α＜β,根据题意，存在实数c∈［α、β］

    使得f(β)-f(α)=(β-α)f′(c)成立.

    又f(β)=β,f(α)=α,α≠β,

∴这时f′(c)=1.

    这与0＜f′(x)＜1矛盾，∴方程f(x)-x=0只有一个实数根.

(3)不妨设a＜b,∵f′(x)＞0,∴f(x)为增函数.

∴f(a)＜f(b).

    又∵f′(x)-1＜0,∴函数f(x)-x为减函数.

∴f(a)-a＞f(b)-b.∴0＜f(b)-f(a)＜b-a,即|f(b)-f(a)|＜|b-a|.

∴|f(b)-f(a)|＜|b-a|=|b-x₁-(a-x₁)|≤|b-x₁|+|a-x₁|＜2.

∴结论成立.