Question

在数列{a_n}中，a1=-

2

3

，Sn+

1

Sn

=an-2(n＞1，n∈N*)．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）猜想S_n的表达式，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过递推关系，得到Sn=-

1

Sn-1+2

(n≥2)，利用n=1，2，3，直接求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）猜想S_n的表达式Sn=-

n+1

n+2

，利用数学归纳法，第一验证n=1成立，再证明n=k+1也成立即可．

解答：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-i，∴Sn+

1

Sn

=Sn-Sn-1-2，∴Sn=-

1

Sn-1+2

(n≥2)（3分）∴S1=a1=-

2

3

，S2=-

1

S1+2

=-

3

4

，S3=-

1

S2+2

=-

4

5

（6分）
（Ⅱ）猜想Sn=-

n+1

n+2

，（7分）
下面用数学归纳法证明：
1）当n=1时，S1=-

2

3

=-

1+1

1+2

，猜想正确；（8分）
2）假设当n=k时猜想正确，即Sk=-

k+1

k+2

，
那么Sk+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

(k+1)+1

(k+1)+2

，即n=k+1时猜想也正确．（12分）
根据1），2）可知，对任意n∈N₊，都有Sn=-

n+1

n+2

．（13分）

点评：本题考查数列与数学归纳法的有关知识，能够正确应用假设是证明数学归纳法命题的关键，考查逻辑推理能力．