Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA=

1

3

．
（1）求sin²

B+C

2

的值；
（2）若a=

3

，求bc的最大值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和诱导公式，化简得sin2

B+C

2

=

1

2

(1+cosA)，代入题中数据即可得到所求的值．
（2）由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

的式子，算出

2

3

bc=b2+c2-a2，再由基本不等式及a=

3

，即可算出当且仅当b=c=

3

2

时，bc=

9

4

最大，得到所求最大值．

解答：解：（1）∵B+C=π-A，∴cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA
可得sin2

B+C

2

=

1

2

[1-cos(B+C)]=

1

2

(1+cosA)…（2分）
代入题中数据，可得sin2

B+C

2

=

1

2

(1+

1

3

)=

2

3

…（4分）
（2）∵由余弦定理，得

b2+c2-a2

2bc

=cosA=

1

3

∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，…（6分）
又∵a=

3

，∴代入上式，解出bc≤

9

4

．
当且仅当 b=c=

3

2

时，bc=

9

4

取得最大值，故bc的最大值是

9

4

…（8分）

点评：本题给出三角形一角的余弦，求三角函数式的值并依此求bc的最大值．着重考查了正余弦定理、三角恒等变换和利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．