Question

已知f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是定义在R上的函数，其图象交x轴于A，B，C三点，若点B的坐标为(2，0)，且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．

(1)求c的值；

(2)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x₀，y₀)，使得f(x)在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)求|AC|的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵在和上有相反单调性， 　　∴x＝0是的一个极值点，故， 　　即有一个解为x＝0，∴c＝0　3分 　　(2)∵交x轴于点B(2，0) 　　∴ 　　令，则 　　∵在和上有相反的单调性 　　∴，∴ 　　假设存在点M(x0，y0)，使得在点M的切线斜率为3b，则 　　即 　　∵Δ＝ 　　又，∴Δ＜0 　　∴不存在点M(x0，y0)，使得在点M的切线斜率为3b．　8分 　　(3)依题意可令 　　 　　 　　 　　∵，∴当时，； 　　当时， 　　故