Question

数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项的和．对于n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N时，R_n-1=n（T_n-1）；
（3）若函数的定义域为R_n，并且，求证p+q＞1．

Answer 1

【答案】分析：（1）主要利用等差中项得出S_n与a_n的关系式，在利用 可求出a_n．
（2）就是要用数学归纳法证明，先验证：n=2时等式成立，再假设 n=k时等式成立，推n=k+1时成立，其中有要利用好假设条件和R_k=R_k-1+T_k就可证出．
（3）先说明：q≠0．如果q=0，则，∴q≠0；再根据恒成立．由于q≠0时，的值域为（-∞，0），结合条件得出3^q＞1从而得出p+q＞1．
解答：解：（1）由已知n∈N^*时，2S_n=a_n+a_n²总成立．∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2），
两式作差，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），∵a_n、a_n-1均为正数．∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．∴{a_n}是公差为1的等差数列．
又n=1时，2S₁=2a₁=a₁+a₁²，得a₁=1，故a_n=n．…（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，．∴n=2时，等式成立
②假设当n=k（k≥2）时，

综合①和②，可知所要证明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，则，∴q≠0，∵f（x）定义域为R，
∴恒成立．由于q≠0时，的值域为（-∞，0），
∴p-1≥0，又当p=1时，f（x）=1.，
∴p＞1．
∵=
∴3^q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分
点评：本题的第1问比较简单，主要考查了 这个知识点．第2问主要考查了数学归纳法证明，关键在于 n=k+1时的推导过程要利用好假设条件和题的条件，运算的技巧性较强．