题目内容

数列{an}各项均为正数,sn为其前n项的和,对于n∈N*,总有an,sn,an2成等差数列.
(1)数列{an}的通项公式;
(2)设数列{
1
an
}的前n项的和为Tn,数列{Tn}的前n项的和为Rn,求证:当n≥2时,Rn-1=n(Tn-1)
(3)设An为数列{
2an-1
2an
}的前n项积,是否存在实数a,使得不等式An
2an+1
<a对一切n∈N+都成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.
分析:第1问主要利用等差中项得出Sn与an的关系式,在利用an =
S1            n=1
Sn-Sn-1    n≥2
可求出an.第2问就是要用数学归纳法证明,先验证:n=2时等式成立,再假设 n=k时等式成立,推n=k+1时成立,其中有要利用好假设条件和Rk=Rk-1+Tk就可证出.第3问写出An的表达式后,构造g(n)=An
2an+1
这个关于正整数n的函数,因为An是一个n项的乘积,所以采用作商的方法判断出g(n)的单调性,从而使不等式得到证明.
解答:解:(1)由已知有2Sn=an+an2
当n=1时,2a1=a1+a12?a1=1,
当n≥2时,2Sn-1=an-1+an-12,∴2Sn=an+an2
两式相减有:2an=an-an-1+an2-an-12
即an-an-1=1.
所以an=n.
(2)由(1)得Tn=1+
1
2
+
1
3
+
+
1
n
,Rn=T1+T2+T3+…+Tn
当n=2时,Rn-1=R1=T1=1,n(T2-1)=1,
故当n=2时命题成立.
假设n=k时成立,即Rk-1=k(Tk-1),则当n=k+1时,Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk-
k
k+1
)
=(k+1)(Tk+
1
k+1
-1)=(k+1)(Tk+1-1)

说明当n=k+1时命题也成立.
(3)据已知An=(1-
1
2a1
)(1-
1
2a2
)
(1-
1
2an
)
,则:g(n)=An
2n+1
=
2n+1
(1-
1
2a1
)(1-
1
2a2
)
(1-
1
2an
)
g(n+1)
g(n)
=(1-
1
2an+1
)
2n+3
2n+1
=
(2n+1)
2n+3
(2n+2)
2n+1
<1
故g(n)单调递减,于是[g(n)]max=g(l)=
3
2

要使不等式An
2an+1
<a
对一切n∈N+都成立只需a>
3
2
即可.
点评:本题的第1问比较简单,主要考查了an =
S1            n=1
Sn-Sn-1    n≥2
这个知识点.第2问主要考查了数学归纳法证明,关键在于 n=k+1时的推导过程要利用好假设条件和题的条件,运算的技巧性较强.第3问是本题的难点所在,因为常规判断单调性的方法是作差,作商比较少用,但是由本题的特点所决定,这一点需要一定的思维量.
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