Question

在数列a_n中，a₁=0，a₂=2，a_n+1+a_n-1=2（a_n+1），n≥2
（1）求数列a_n的通项公式
（2）若不等式(x2-x)(

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

)＞1对任意的正整数n都成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知得，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，（n≥2），所以a_n+1-a_n=2n，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由a_n=n²-n，知

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

，由已知得x2-x＞

n+1

n

=1+

1

n

对任意的正整数n均成立，由此能求出所求x的范围．

解答：解：（1）由已知得，a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，（n≥2）（1分）
∴数列a_n+1-a_n是以首项为a₂-a₁=2，公差为2的等差数列
∴a_n+1-a_n=2n（3分）
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=n（n-1）
又a₁=0=1×（1-1）适合，
∴a_n=n（n-1）（6分）
（2）由（1）得，a_n=n²-n，
∴

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

a2

+

1

a3

++

1

an+1

=

1

n

-

1

n+1

（9分）
由已知得(x2-x)

n

n+1

＞1
即x2-x＞

n+1

n

=1+

1

n

对任意的正整数n均成立
∴x²-x＞2
∴x＜-1或x＞2
即所求x的范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法和以数列为载体借助函数的性质求参数的取值范围，解题要全面考虑，统筹分析，避免丢解．