Question

如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，BD=2

3

，AC与BD交于O点．将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若已知二面角A-PB-D的余弦值为

21

7

，求θ的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理，可证AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角A-PB-D的余弦值为

21

7

，可求θ的大小．

解答：（Ⅰ）证明：由题意，O为BD的中点，则AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，所以AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：以OB为x轴，OC为y轴，过O垂直于平面ABC向上的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（

3

，0，0），P（，-

3

cosθ，0，

3

sinθ），则

AB

=(

3

，1，0)，

AP

=(-

3

cosθ，1，

3

sinθ)
平面PBD的法向量为

j

=(0，1，0)
设平面ABP的法向量为

n

=(x，y，z)
则由

n ⊥ AB n ⊥ AP

得，

3 x+y=0 - 3 xcosθ+y+ 3 zsinθ=0

，令x=1，则

n

=(1，-

3

，

cosθ+1

sinθ

)
∴cos＜

n

，

j

＞=

| n • j |

| n || j |

=

3

4+ (cosθ+1)2 sin2θ

=

21

7

∴

(cosθ+1)2

sin2θ

=3，即sin(θ-

π

6

)=

1

2

，
又θ∈(0，

π

2

)，∴θ=

π

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．