Question

（2013•黄浦区二模）已知(3+x)+(3+x)2+(3+x)3+…+(3+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*)，且A_n=a₀+a₁+a₂+…+a_n，则

lim

n→∞

An

4n

=

4

3

．

Answer 1

分析：由题意令x=1可得 A_n=4+4²+4³+…+4ⁿ，利用等比数列的前n项和公式求得它的结果，再利用极限的运算法则求得

lim

n→∞

An

4n

的值．

解答：解：在已知的等式中，令x=1可得 4+4²+4³+…+4ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
再由 A_n=a₀+a₁+a₂+…+a_n ，可得 A_n=4+4²+4³+…+4ⁿ=

4(1-4n)

1-4

=

4

3

(4n-1)，
故

lim

n→∞

An

4n

=

lim

n→∞

 

4(4n-1)

3×4n

=

lim

n→∞

 

4

3

(1-

1

4n

)=

4

3

，
故答案为

4

3

．

点评：本题主要考查求函数的极限的方法，等比数列的前n项和公式，二项式定理的应用．注意根据题意，
分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．